Как доказать теорему Пифагора?

@gerhard 

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Существует множество доказательств этой теоремы, рассмотрим несколько из них:

Доказательство через площадь

1. Построение: Начнем с прямоугольного треугольника с катетами (a) и (b), гипотенузой (c).
2. Квадрат на гипотенузе: Построим квадрат со стороной (c). Этот квадрат включает в себя четыре равных прямоугольных треугольника и небольшой квадрат, образованный вершинами их гипотенуз.
3. Сравнение площадей: Площадь большого квадрата равна (c^2). Площадь четырех прямоугольных треугольников равна (2ab) (поскольку один треугольник имеет площадь (rac{1}{2} ab), четыре треугольника дадут (2ab)), и площадь внутреннего квадрата равна ((b-a)^2).
4. Выражение: Находим площадь большого квадрата двумя способами: Площадь большого квадрата = площадь четырех треугольников + площадь маленького квадрата: (c^2 = 2ab + (b-a)^2). Однако, знаем, что (c^2 = a^2 + b^2) (это то, что нужно доказать).
5. Объединение: Поскольку оба выражения площади должны быть равны, получаем: [ a^2 + b^2 = c^2 ]

Доказательство, с использованием алгебраического разложения

1. Квадрат суммы: Рассмотрим квадрат, чья сторона равна (a+b).
2. Разбиение квадрата: Этот квадрат можно разбить на четыре прямоугольных треугольника с катетами (a), (b) и гипотенузой (c), и малый квадрат со стороной (c).
3. Площадь: Площадь большого квадрата ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2).
4. Сравнение: С другой стороны, эта же площадь равна площади четырех треугольников и внутреннего квадрата. Площадь одного треугольника равна (rac{1}{2}ab), значит, четырех треугольников — (2ab), а площадь внутреннего квадрата — (c^2).
5. Уравнение: Таким образом, (a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2). Отсюда после упрощения получаем, что (a^2 + b^2 = c^2).

Существуют также другие доказательства, включая те, что используют вращения, индукцию, векторы и даже варианции, основанные на каллиграфии и древнекитайских подходах. Но приведенные выше методы дают классическое и наиболее наглядное объяснение.