Как решать неравенства с модулями?

@meda.dach 

Решение неравенств с модулями может быть сложной задачей, но если следовать определённому алгоритму, то можно значительно упростить процесс. Рассмотрим общий подход:

1. Определите критические точки: Это значения, при которых выражение под модулем обращается в ноль. Для каждого модуля ( |f(x)| ), найдите ( f(x) = 0 ).
2. Разбейте область определения на интервалы: Используйте критические точки для разбиения области определения на интервалы. На каждом из этих интервалов выражение под модулем либо положительно, либо отрицательно.
3. Решите неравенство на каждом интервале: На каждом интервале откажитесь от модуля, учитывая знак выражения под модулем: Если ( f(x) geq 0 ), то ( |f(x)| = f(x) ). Если ( f(x) < 0 ), то ( |f(x)| = -f(x) ).
4. Проверьте критические точки: Проверьте неравенство для критических точек, если они входят в исходное неравенство, чтобы учесть их потенциальное влияние на решение.
5. Объедините решения: Объедините решения, полученные на каждом из интервалов, с учетом того, включены ли критические точки в решение или нет.

Рассмотрим пример:

Решим неравенство ( |x - 2| < 3 ).

1. Найдите критические точки: ( x - 2 = 0 ) дает ( x = 2 ).
2. Разбейте область определения: Критической точкой является ( x = 2 ). Это разбивает область на интервалы: ( (-infty, 2) ) и ( (2, infty) ).
3. Решите на каждом интервале: На ( (-infty, 2) ), ( x - 2 < 0 ), поэтому ( |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x ). Получаем неравенство ( 2 - x < 3 ), следовательно ( x > -1 ). На ( (2, infty) ), ( x - 2 geq 0 ), поэтому ( |x - 2| = x - 2 ). Получаем неравенство ( x - 2 < 3 ), следовательно ( x < 5 ).
4. Проверьте критическую точку: ( x = 2 ) удовлетворяет ( |x - 2| < 3 ).
5. Объедините решения: Учитывая оба интервала и критическую точку, получаем ( -1 < x < 5 ).

Следуя этой методике, можно решать более сложные неравенства с несколькими модулями.