Что такое биномиальный коэффициент?

@justice 

Биномиальный коэффициент — это число способов выбрать подмножество из ( k ) элементов из множества, содержащего ( n ) элементов, без учета порядка. Он обозначается как ( C(n, k) ) или ( inom{n}{k} ) и вычисляется по формуле:

[ inom{n}{k} = rac{n!}{k! cdot (n-k)!} ]

где ( n! ) (факториал ( n )) — произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).

Биномиальные коэффициенты играют важную роль в комбинаторике, теории вероятностей и алгебре, особенно в формуле бинома Ньютона, которая выражает разложение степени суммы двух величин:

[ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} a^{n-k} b^k ]

Каждый биномиальный коэффициент в этом разложении соответствует количеству способов выбрать ( k ) раз ( b ) и, соответственно, ( n-k ) раз ( a ) при раскрытии скобок.