Как находить максимумы и минимумы тригонометрических функций?

@taylor 

Для нахождения максимумов и минимумов тригонометрических функций, таких как синус, косинус и тангенс, можно использовать метод критических точек и анализ производных. Рассмотрим основные шаги:

1. Находим производную функции: Для функции ( f(x) = sin(x) ), производная ( f'(x) = cos(x) ). Для функции ( f(x) = cos(x) ), производная ( f'(x) = -sin(x) ). Для функции ( f(x) = an(x) ), производная ( f'(x) = sec^2(x) ).
2. Находим критические точки: Критические точки находятся там, где производная либо равна нулю, либо не определена. Для (sin(x)), критические точки определяются из уравнения (cos(x) = 0), что происходит при ( x = rac{pi}{2} + kpi ), где ( k ) — целое число. Для (cos(x)), критические точки определяются из уравнения (-sin(x) = 0), что происходит при ( x = kpi ), где ( k ) — целое число. Для ( an(x)), критические точки определяются из уравнения (sec^2(x) = 0), однако более важно отметить, что ( an(x)) не определён в точках вида ( x = rac{pi}{2} + kpi ).
3. Анализируем знаки производных: Определяем знаки производной в окрестностях критических точек, чтобы понять, меняется ли функция от возрастания к убыванию или наоборот. Если производная меняет знак с положительного на отрицательный, в этой точке находится локальный максимум. Если с отрицательного на положительный — локальный минимум.
4. Особенности тригонометрических функций: Синус и косинус имеют глобальные максимумы и минимумы на интервалах длиной (2pi): (sin(x)) имеет максимум 1 при ( x = rac{pi}{2} + 2kpi ) и минимум -1 при ( x = rac{3pi}{2} + 2kpi ). (cos(x)) имеет максимум 1 при ( x = 2kpi ) и минимум -1 при ( x = pi + 2kpi ).
5. Периодичность: Необходимо учитывать, что синус и косинус — периодические функции с периодом (2pi), а тангенс — с периодом (pi). Поэтому максимумы и минимумы повторяются с этими периодами.

Следуя этим шагам, можно определить, где находятся максимальные и минимальные значения тригонометрических функций в пределах заданного интервала.